Mathematik Fun

1. Die Chuck Norris Zahl 73

Die Zahl 73 hat einzigartige Eigenschaften:

Sie ist die 21. Primzahl
Die Zahl 21 errechnet sich aus $7 \cdot 3$
Die Spiegelzahl 37 ist die 12. Primzahl, dh. eine Mirpzahl
Die Binärdarstellung von 73 ist 1001001₂, also ein Palindrom
Sie hat 7 Stellen und 3 Einsen

2. Was ist i hoch i ?

Welche Zahl ergibt sich aus der imaginären Zahl $i$ potenziert mit $i$?
Aufgabe: Berechne $i^i$.

Lösung $...$

Wir erinnern uns an die berühmte Euler'sche Formel $$ \displaystyle \mathbf{e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi}$$ Für den Winkel $ \varphi =\frac{\pi}{2}$ ergibt sich ($ \cos \; \frac{\pi}{2}=0$, $ \sin \; \frac{\pi}{2}=1$) $$e^{i\; \frac{\pi}{2}}=i$$ Ein oft verwendeter Trick in der Mathematik besteht darin, auf eine Gleichung eine Funktion und dann deren Umkehrfunktion zu anzuwenden. Dies können wir auch hier tun.

\begin{eqnarray} i^i & = & \sqrt{( i^i )^2}\\ e^{\ln \; i^i} & = & e^{i \; \ln \; i}\\ \end{eqnarray}

Wir setzen mit (2), der unteren Gleichung fort und fragen: Was ist $ln\;i$ ?
Ganz einfach indem wir den natürlichen Logarithmus von $e^{i\;\frac{\pi}{2}}=i$ bestimmen und erhalten
$ i\; \frac{\pi}{2}= \ln \;i$
was wir in (2) einsetzen können:
$ \displaystyle e^{i \cdot \frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}=0,207879576351$

Lösung: $i^i=0,207879576351\qquad\qquad \square$

3. Äquivalenzumformung

Finde eine vereinfachte Form der folgenden Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und Anwendung von logarithmischen Regeln so dass die umgeformte Gleichung bruchfrei ist! $$ y = \displaystyle \frac{ln \left(\displaystyle \frac{x}{m}-a\;s\right)}{r^2}$$

Lösung $...$

\begin{eqnarray} y & = & \displaystyle \frac{ln \left(\displaystyle \frac{x}{m}-a\;s\right)}{r^2} \\ r^2y & = & \displaystyle ln \left(\frac{x}{m}-a\;s\right) \\ e^{\displaystyle r^2y} & = & \frac{x}{m}-a\;s \\ e^{\displaystyle r^2y} & = & \frac{x-m\;a\;s}{m} \\ m\;e^{\displaystyle r^2\;y} & = & x-m\;a\;s\\ m\;e^{\displaystyle r\;r\;y} & = & x-m\;a\;s \qquad\qquad\qquad \square \end{eqnarray}

4. Beweise, dass 2=1

Behauptung: $2=1$

(Fake-) Beweis:

Sei $a=b$, dann gilt:

\begin{eqnarray*} a^2 &=& a\cdot b \\ a^2 - b^2 &=& a\,b - b^2 \\ (a+b)(a-b) &=& b\,(a-b) \\ a+b &=& b \\ \textrm{wegen a=b gilt:} \\ 2\cdot b&=&b \\ 2 &=& 1 \qquad\qquad\qquad \square \end{eqnarray*}

Lösung $...$

\begin{eqnarray} (a+b)(a-b) &=& b\,(a-b) \\ \textrm{a-b = 0, da a=b, man darf nicht durch null dividieren!} \end{eqnarray}

5. Beweise, dass 3=4

Behauptung: $3=4$

Beweis:

angenommen dass $a+b=c$ gilt, dann gilt auch folgendes: \begin{eqnarray*} 4a - 3a + 4b - 3b &=& 4c - 3c \\ 4a + 4b - 4c &=& 3a + 3b - 3c \\ 4\,(a+b-c) &=& 3\,(a+b-c) \\ 4 &=& 3 \qquad\qquad\qquad \square \end{eqnarray*}

Aussagenlogik

Anna ist verheiratet
Charlotte ist unverheiratet

Sieht die verheiratete Person die unverheiratete?

Ja
Nein
Zu wenig Information

spielplatz/mathematik-fun.txt · Zuletzt geändert: 2023/04/15 15:30 von wi

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