====== Mathematik Fun ======
===== - Die Chuck Norris Zahl 73 =====
Die Zahl 73 hat einzigartige Eigenschaften:
  * Sie ist die 21. Primzahl
  * Die Zahl 21 errechnet sich aus $7 \cdot 3$
  * Die Spiegelzahl 37 ist die 12. Primzahl, dh. eine //Mirpzahl//
  * Die Binärdarstellung von 73 ist 1001001<sub>2</sub>, also ein //Palindrom//
  * Sie hat 7 Stellen und 3 Einsen

===== - Was ist i hoch i ? =====
Welche Zahl ergibt sich aus der imaginären Zahl $i$ potenziert mit $i$?\\
**Aufgabe**: Berechne $i^i$.
<hidden Lösung $...$>
<WRAP tip>
Wir erinnern uns an die berühmte Euler'sche Formel
$$ \displaystyle \mathbf{e^{i\varphi}=\cos\varphi + i\sin\varphi}$$
Für den Winkel $ \varphi =\frac{\pi}{2}$ ergibt sich ($ \cos \; \frac{\pi}{2}=0$, $ \sin \; \frac{\pi}{2}=1$)
$$e^{i\; \frac{\pi}{2}}=i$$
Ein oft verwendeter Trick in der Mathematik besteht darin, auf eine Gleichung eine Funktion und dann deren Umkehrfunktion zu anzuwenden. Dies können wir auch hier tun.

\begin{eqnarray}
i^i & = & \sqrt{( i^i )^2}\\
e^{\ln \; i^i} & = & e^{i \; \ln \; i}\\
\end{eqnarray}

Wir setzen mit (2), der unteren Gleichung fort und fragen: Was ist $ln\;i$ ?\\
Ganz einfach indem wir den natürlichen Logarithmus von $e^{i\;\frac{\pi}{2}}=i$ bestimmen und erhalten \\
$ i\; \frac{\pi}{2}= \ln \;i$\\
was wir in (2) einsetzen können:\\
$ \displaystyle e^{i \cdot \frac{\pi}{2}}=e^{-\frac{\pi}{2}}=0,207879576351$
</WRAP>
<WRAP box>
**Lösung**: $i^i=0,207879576351\qquad\qquad \square$
</WRAP>

</hidden>


===== - Äquivalenzumformung =====

Finde eine vereinfachte Form der folgenden Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und Anwendung von logarithmischen Regeln so dass die umgeformte Gleichung bruchfrei ist!
$$ y = \displaystyle \frac{ln \left(\displaystyle \frac{x}{m}-a\;s\right)}{r^2}$$
<hidden Lösung $...$>
\begin{eqnarray}
y & = & \displaystyle \frac{ln \left(\displaystyle \frac{x}{m}-a\;s\right)}{r^2} \\
r^2y & = & \displaystyle ln \left(\frac{x}{m}-a\;s\right) \\
e^{\displaystyle r^2y} & = & \frac{x}{m}-a\;s \\
e^{\displaystyle r^2y} & = & \frac{x-m\;a\;s}{m} \\
m\;e^{\displaystyle r^2\;y} & = & x-m\;a\;s\\
m\;e^{\displaystyle r\;r\;y} & = & x-m\;a\;s \qquad\qquad\qquad \square
\end{eqnarray}
</hidden>



===== - Beweise, dass 2=1 =====

Behauptung: $2=1$

(Fake-) Beweis:

Sei $a=b$, dann gilt:

\begin{eqnarray*}

a^2 &=& a\cdot b \\ a^2 - b^2 &=& a\,b - b^2 \\ (a+b)(a-b) &=& b\,(a-b) \\ a+b &=& b \\ \textrm{wegen a=b gilt:} \\ 2\cdot b&=&b \\ 2 &=& 1 \qquad\qquad\qquad \square

\end{eqnarray*}

<hidden Lösung $...$>

\begin{eqnarray}

(a+b)(a-b) &=& b\,(a-b) \\ \textrm{a-b = 0, da a=b, man darf nicht durch null dividieren!}

\end{eqnarray}

</hidden>


===== - Beweise, dass 3=4 =====
Behauptung: $3=4$

Beweis:

angenommen dass $a+b=c$ gilt, dann gilt auch folgendes:
\begin{eqnarray*}
4a - 3a + 4b - 3b &=& 4c - 3c \\
4a + 4b - 4c &=& 3a + 3b - 3c \\
4\,(a+b-c) &=& 3\,(a+b-c) \\
4 &=& 3 \qquad\qquad\qquad \square
\end{eqnarray*}

===== Aussagenlogik =====

<graphviz>
digraph G { rankdir=LR;
  node [shape=box, style=filled, fixedsize=true, fontsize=12, fillcolor=lightskyblue];
  edge [labelfontsize=10,label="sieht"];
  Anna -> Brigitte -> Charlotte;
}
</graphviz>

  - Anna ist verheiratet
  - Charlotte ist unverheiratet

<WRAP tip>
Sieht die verheiratete Person die unverheiratete?
    - Ja
    - Nein
    - Zu wenig Information
</WRAP>